Как работает сложный процент? Одним предложением: проценты добавляются к твоей сумме, а следующий процент начисляется уже на эту увеличившуюся сумму. Проценты начинают приносить проценты. Идея простая, арифметика простая, а эффект на длинных сроках оказывается больше, чем ожидает большинство людей, причём в обе стороны — потому что один и тот же механизм увеличивает и сбережения, и долг.
В этой статье разобраны механизм, формула, правило 72, почему важна частота начисления процентов и почему всё это действует на твой долг ничуть не слабее, чем на твои накопления.
Как работает сложный процент?
Начнём с простого процента — это более лёгкая для понимания идея. Если ты вносишь 1000 $ под 5 процентов простого годового процента, ты получаешь 50 $ в год, каждый год, и эта сумма считается только от исходных 1000 $. Через десять лет у тебя будет 1500 $.
Сложный процент добавляет проценты за каждый год к остатку прежде, чем считать проценты за следующий год. Первый год: 5 процентов от 1000 $ — это 50 $, и остаток становится 1050 $. Второй год: 5 процентов от 1050 $ — это 52,50 $, и остаток становится 1102,50 $. Каждый год проценты чуть больше, потому что выросла база, от которой их считают.
Сначала разница крошечная — пара долларов. Но она продолжает расти, потому что на сам этот разрыв тоже начисляются проценты.
Сложный процент работает медленно в начале и быстро в конце. Основной эффект приходится на те годы, дождаться которых людям труднее всего.
Разница с течением времени
В таблице показаны 1000 $ под 5 процентов годовых при ежегодном начислении сложного процента в сравнении с той же суммой под 5 процентов простого процента.
| Годы | Простой процент | Сложный процент | Разница |
|---|---|---|---|
| 10 | 1500 $ | 1629 $ | 129 $ |
| 20 | 2000 $ | 2653 $ | 653 $ |
| 30 | 2500 $ | 4322 $ | 1822 $ |
За тридцать лет сумма со сложным процентом выросла более чем в четыре раза, тогда как простой процент добавил лишь полтора номинала. Почти половина итогового остатка при сложном проценте — это проценты, начисленные на уже начисленные проценты.
Поэтому в сложном проценте время значит больше, чем почти всё остальное. Ставка важна, стартовая сумма важна, но именно число периодов превращает скромную разницу в огромную.
Формула простыми словами
Стандартная формула выглядит так:
Итоговая сумма = P × (1 + r / n) ^ (n × t)
- P — начальная сумма, основной капитал.
- r — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби, то есть 5 процентов — это 0,05.
- n — сколько раз в год начисляются проценты.
- t — количество лет.
Для 1000 $ под 5 процентов при начислении раз в год в течение десяти лет: 1000 × 1,05 в степени 10, то есть 1628,89 $. Формула выглядит технически, но это лишь тот же расчёт по годам, что и выше, записанный в одну строку.
СамопроверкаДва сберегательных счёта заявляют одинаковые 5 процентов годовых, но один начисляет проценты раз в год, а другой — каждый месяц. Прежде чем читать дальше: какая цифра в условиях счёта показывает, сколько он платит на самом деле, и почему заявленные 5 процентов не могут этого показать?Показать ответСкрыть ответ
Эффективная ставка — в США её называют APY, в Великобритании AER. Заявленные 5 процентов — это номинальная ставка, в США её часто называют APR: она указывает годовую ставку до начисления сложного процента, поэтому выглядит одинаково на обоих счетах. Счёт с ежемесячным начислением платит больше — около 1647 $ против 1629 $ с 1000 $ за десять лет, — потому что проценты за каждый месяц начинают приносить проценты раньше, и только эффективная ставка это учитывает.
Почему важна частота начисления процентов
Проценты можно начислять раз в год, раз в месяц, ежедневно или с другой периодичностью. Чем чаще их начисляют, тем раньше каждая часть процентов сама начинает приносить проценты.
Те же 1000 $ под 5 процентов при ежемесячном начислении за десять лет превращаются примерно в 1647 $ вместо 1629 $ при ежегодном начислении. При скромных ставках разница невелика, но она растёт вместе со ставкой и сроком.
Поэтому кредиторы и банки указывают две разные цифры. Номинальная ставка, в США её часто называют APR, показывает годовую ставку до начисления сложного процента. Эффективная ставка — APY в США, AER в Великобритании — учитывает эффект начисления процентов внутри года. При сравнении продуктов именно эффективная ставка показывает, что на самом деле происходит с остатком.
Как это изучают в Astra Trainer
Направление «Денежные системы» мира «Бизнес и финансы» включает двадцать курсов о создании денег, кредите и работе центральных банков, начиная с курсов «Деньги», «Валюта» и «Кредит».
Сложный процент лежит в основе значительной части этого материала, ведь процент — это цена кредита, а кредит — то, как создаётся большая часть денег. Понимание механизма облегчает восприятие всей остальной системы. Уроки занимают около пяти минут, а проводник объяснит всё непонятное.
Правило 72
Быстрый способ оценить, за сколько сумма удвоится при начислении сложного процента, — разделить 72 на годовую процентную ставку.
При 6 процентах 72, делённое на 6, даёт 12 — сумма удвоится примерно за 12 лет. Точное значение — около 11,9 года. При 8 процентах 72, делённое на 8, даёт 9 лет, и это почти точное совпадение. Правило работает лучше всего при ставках примерно от 6 до 10 процентов и теряет точность далеко за пределами этого диапазона.
Этот приём далеко не новый. Итальянский математик Лука Пачоли описал его в 1494 году в своей книге Summa de arithmetica — той же, где впервые изложена двойная бухгалтерская запись. Правило работает и в обратную сторону: при инфляции в 3 процента цены удваиваются примерно за 24 года, а значит, деньги, которые держат наличными, теряют за этот срок около половины покупательной способности. Об этом подробно рассказывает статья о причинах инфляции.
Сложный процент действует и на долг
Всё сказанное выше в равной мере относится и к деньгам, которые ты должен. Проценты по непогашенному долгу добавляются к остатку, а проценты за следующий период начисляются уже на увеличившуюся сумму.
Возьмём остаток по кредитной карте в 2000 $ под 2 процента в месяц, то есть примерно 24 процента годовых, без каких-либо платежей. Через двенадцать месяцев при ежемесячном начислении остаток составит около 2536 $. Эффективная годовая ставка окажется близкой к 27 процентам, а не к 24, — из-за ежемесячного начисления сложного процента.
Именно поэтому минимальные платежи по долгу с высокой ставкой могут погашать его так долго. Если платёж лишь немного превышает начисляемые проценты, на уменьшение самого остатка идёт совсем немного, а сложный процент продолжает начисляться почти на всю сумму.
Статья о том, как банки создают деньги объясняет, почему процентный кредит занимает центральное место во всей системе.
Проверь это прямо сейчас на своих счетах
Отмечено: 0 из 4
Каждый из этих пунктов указан в условиях счёта или в выписке, так что пробел здесь — это просто цифра, которую нужно найти, а не приговор твоему обращению с деньгами.
Двухсотлетний эксперимент Франклина
Самую известную практическую проверку сложного процента устроил Бенджамин Франклин. В дополнении к завещанию, незадолго до смерти в 1790 году, он оставил по 1000 £ Бостону и Филадельфии. Деньги следовало сто лет давать в долг под процент молодым ремесленникам, после чего часть суммы можно было потратить на общественные нужды, а остальное — снова оставить прирастать сложным процентом ещё на сто лет.
Франклин рассчитал, что через двести лет каждый фонд может превысить 4 миллиона £. Этого не произошло. Когда трасты были закрыты около 1990 года, фонд Бостона стоил около 4,5 миллиона $, а фонд Филадельфии — около 2 миллионов $, что намного ниже его прогноза.
Именно в этом разрыве и урок. Сложный процент — мощная сила, но результат целиком зависит от того, удержится ли ставка. Невозвращённые займы, периоды низкой доходности и снятие денег по пути — всё это снижало ставку, а за двести лет даже небольшое снижение ставки складывается в огромную разницу в итоге.
Общая информация, а не финансовая консультация. Эта статья объясняет, как работает механизм. Она не рекомендует какой-либо продукт, счёт или образ действий, а процентные ставки, комиссии и правила различаются в зависимости от кредитора и страны. Для решений о собственных деньгах уточняй условия непосредственно у поставщика услуг и рассмотри возможность обратиться к квалифицированному лицензированному консультанту.
Чего сложный процент не делает
Сложный процент описывает, что происходит с суммой при заданной ставке. Он не гарантирует саму эту ставку. Ставка по сберегательному счёту может измениться. Доходность инвестиций год от года колеблется и может быть отрицательной — и тогда сложный процент работает против остатка, а не на него.
Кроме того, сложный процент действует на номинальные суммы. Если цены растут с той же скоростью, что и проценты, цифра на счёте увеличивается, а её покупательная способность остаётся примерно прежней.
Почему понимание механизма — это привычка
Сложный процент — одна из тех идей, о которых слышали почти все, но применяют на практике немногие: читая эффективную ставку, замечая, как растёт остаток по долгу, или видя, какую разницу дают несколько процентных пунктов за десятилетие.
Astra Trainer устроен так, чтобы подобные идеи закреплялись надолго. После каждой темы — тест, а каждый курс завершается итоговым экзаменом из десяти вопросов; ежедневные задания, очки и серия занятий поддерживают ритм пятиминутных уроков. «Круг» даёт тебе небольшую группу с общей недельной целью и живые занятия — это помогает, когда тему редко обсуждают открыто.
Что важно запомнить
Сложный процент начисляется на основную сумму плюс уже добавленные проценты, поэтому проценты за каждый период больше, чем за предыдущий.
Сначала эффект невелик, но на длинных сроках становится значительным. Время — самый важный фактор, за ним следуют ставка и частота начисления процентов.
Правило 72 даёт быструю оценку времени удвоения, а эффективная ставка — APY или AER — показывает реальный эффект начисления процентов внутри года.
Поэтому самый полезный ответ на вопрос, как работает сложный процент, звучит так: он работает одинаково на всё и действует на остаток по кредитной карте ничуть не слабее, чем на сберегательный счёт.
Проверь себя
Вопрос 1 из 3
Остаток по карте облагается высокой ставкой, а платёж каждый месяц лишь немного превышает начисляемые проценты. Что происходит с долгом?
Как работает сложный процент простыми словами?
Проценты добавляются к твоему остатку, а следующий процент считается уже от нового, увеличившегося остатка. Со временем проценты начинают приносить проценты, поэтому сумма растёт быстрее, чем при простом проценте, который всегда считается только от исходной суммы.
В чём разница между простым и сложным процентом?
Простой процент считается только от исходной суммы. Сложный процент считается от исходной суммы плюс уже добавленные проценты. Для 1000 $ под 5 процентов за тридцать лет простой процент даёт 2500 $, а ежегодное начисление сложного процента — около 4322 $.
Что такое правило 72?
Быстрый способ оценить, за сколько сумма удвоится при сложном проценте: раздели 72 на годовую процентную ставку. При 6 процентах получится около 12 лет. Его описал Лука Пачоли в 1494 году.
Действует ли сложный процент на долг?
Да. Непогашенные проценты по кредитам и картам добавляются к остатку, а затем на них самих начисляются новые проценты. Остаток под 2 процента в месяц вырастает примерно на 27 процентов за год, если ничего не выплачивать.
Где можно в коротких уроках изучить, как работают деньги и кредит?
Направление «Денежные системы» в мире «Бизнес и финансы» Astra Trainer включает двадцать курсов о создании денег, кредите и работе центральных банков — пятиминутные уроки с квизами. Для первого урока карта не нужна.
Куда это ведёт. Как научиться обращаться с деньгами: в каком порядке это учить показывает, где сложный процент стоит среди других денежных понятий, и что учить в первую очередь.
