Comment fonctionnent les intérêts composés ? La formule, simplement

Comment fonctionnent les intérêts composés ? En une phrase : les intérêts s'ajoutent au montant que tu détiens, et le tour suivant d'intérêts est calculé sur ce montant plus élevé. Les intérêts se mettent à générer des intérêts. L'idée est simple, l'arithmétique est simple, et l'effet sur de longues périodes est plus important que ce que la plupart des gens imaginent, dans les deux sens, parce que le même mécanisme qui fait grossir l'épargne fait aussi grossir les dettes.

Cet article explique le mécanisme, la formule, la règle des 72, pourquoi la fréquence de capitalisation compte, et pourquoi elle s'applique tout aussi fortement à ce que tu dois qu'à ce que tu possèdes.

Comment fonctionnent les intérêts composés ?

Commence par les intérêts simples, l'idée la plus facile à saisir. Si tu places 1 000 $ à 5 pour cent d'intérêt simple, tu reçois 50 $ par an, chaque année, calculés uniquement sur les 1 000 $ de départ. Après dix ans, tu as 1 500 $.

Les intérêts composés ajoutent les intérêts de chaque année au solde avant de calculer ceux de l'année suivante. Année un : 5 pour cent de 1 000 $ font 50 $, donc le solde passe à 1 050 $. Année deux : 5 pour cent de 1 050 $ font 52,50 $, donc le solde passe à 1 102,50 $. Chaque année, les intérêts sont un peu plus élevés, parce que la base sur laquelle ils sont calculés a augmenté.

Au début, la différence est minime, quelques dollars à peine. Mais elle ne cesse de se creuser, parce que l'écart lui-même produit des intérêts.

L'écart dans le temps

Le tableau montre 1 000 $ à 5 pour cent par an, avec capitalisation annuelle, comparés au même montant à 5 pour cent d'intérêt simple.

Sur trente ans, le montant avec intérêts composés a plus que quadruplé, tandis que l'intérêt simple n'a ajouté qu'une fois et demie le montant initial. Près de la moitié du solde final avec intérêts composés provient des intérêts gagnés sur des intérêts antérieurs.

C'est pourquoi le temps compte plus que presque tout le reste dans les intérêts composés. Le taux compte, le montant de départ compte aussi, mais c'est le nombre de périodes qui transforme une différence modeste en une différence importante.

La formule, simplement

La formule standard est :

Montant final = P × (1 + r / n) ^ (n × t)

• P est le montant de départ, le capital.
• r est le taux d'intérêt annuel, exprimé en décimal, donc 5 pour cent correspond à 0,05.
• n est le nombre de fois par an où les intérêts sont ajoutés.
• t est le nombre d'années.

Pour 1 000 $ à 5 pour cent, capitalisés une fois par an pendant dix ans : 1 000 × 1,05 puissance 10, soit 1 628,89 $. La formule paraît technique, mais elle n'est que le calcul année par année ci-dessus, écrit en une seule ligne.

Pourquoi la fréquence de capitalisation compte

Les intérêts peuvent être ajoutés chaque année, chaque mois, chaque jour ou à d'autres intervalles. Plus ils sont ajoutés souvent, plus tôt chaque part d'intérêt commence à produire ses propres intérêts.

Les mêmes 1 000 $ à 5 pour cent, capitalisés chaque mois pendant dix ans, deviennent environ 1 647 $, contre 1 629 $ avec une capitalisation annuelle. La différence est faible à taux modeste et augmente avec des taux plus élevés et des périodes plus longues.

C'est pourquoi les prêteurs et les banques affichent deux chiffres différents. Un taux nominal, souvent appelé APR aux États-Unis, indique le taux annuel avant capitalisation. Un taux effectif, appelé APY aux États-Unis et AER au Royaume-Uni, intègre l'effet de la capitalisation au cours de l'année. Pour comparer des produits, c'est le taux effectif qui indique réellement ce qui arrive au solde.

Comment Astra Trainer enseigne les intérêts composés

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Les intérêts composés se trouvent au fondement d'une grande partie de ce contenu, parce que l'intérêt est le prix du crédit, et que le crédit est la façon dont la majeure partie de l'argent est créée. Comprendre ce mécanisme rend le reste du système plus facile à suivre. Les leçons durent environ cinq minutes, et un guide t'accompagne dès que quelque chose semble étrange.

La règle des 72

Pour estimer rapidement le temps nécessaire à un montant pour doubler sous l'effet des intérêts composés, il suffit de diviser 72 par le taux annuel en pourcentage.

À 6 pour cent, 72 divisé par 6 fait 12, donc un montant double à peu près en 12 ans. Le chiffre exact est d'environ 11,9. À 8 pour cent, 72 divisé par 8 fait 9 ans, ce qui est presque exact. La règle fonctionne le mieux pour des taux compris entre environ 6 et 10 pour cent, et devient moins précise en dehors de cette fourchette.

Ce raccourci est ancien. Le mathématicien italien Luca Pacioli l'a décrit en 1494, dans sa Summa de arithmetica, le même ouvrage qui a posé les bases de la comptabilité en partie double. Elle fonctionne aussi à l'envers : à 3 pour cent d'inflation, les prix doublent à peu près en 24 ans, ce qui signifie que l'argent gardé en liquide perd environ la moitié de son pouvoir d'achat sur la même période. L'article sur les causes de l'inflation couvre ce sujet.

Les intérêts composés s'appliquent aussi aux dettes

Tout ce qui précède s'applique avec la même force à l'argent que tu dois. Les intérêts sur une dette impayée s'ajoutent au solde, et les intérêts de la période suivante sont calculés sur ce total plus élevé.

Prends un solde de carte de crédit de 2 000 $ à un taux de 2 pour cent par mois, soit environ 24 pour cent par an, sans aucun remboursement. Après douze mois, avec une capitalisation mensuelle, le solde atteint environ 2 536 $. Le taux annuel effectif est proche de 27 pour cent, et non 24, à cause de la capitalisation mensuelle.

C'est aussi pourquoi les paiements minimums sur une dette à taux élevé peuvent mettre si longtemps à l'éponger. Si un paiement dépasse à peine les intérêts ajoutés, très peu de son montant réduit le solde lui-même, et les intérêts composés continuent de s'appliquer sur la quasi-totalité de la somme.

L'article sur la façon dont les banques créent l'argent explique pourquoi le crédit portant intérêt est si central pour l'ensemble du système.

L'expérience de deux cents ans de Franklin

Le test grandeur nature le plus célèbre des intérêts composés a été mis en place par Benjamin Franklin. Dans un codicille à son testament, peu avant sa mort en 1790, il a légué 1 000 £ à Boston et autant à Philadelphie. Cet argent devait être prêté à intérêt à de jeunes artisans pendant cent ans, après quoi une partie pourrait être dépensée pour des travaux publics, et le reste continuerait à fructifier pendant un siècle de plus.

Franklin avait calculé qu'après deux cents ans, chaque fonds pourrait dépasser 4 millions de livres sterling. Ce ne fut pas le cas. Quand les fonds ont été liquidés vers 1990, celui de Boston valait environ 4,5 millions de dollars et celui de Philadelphie environ 2 millions de dollars, bien en dessous de sa projection.

Cet écart est la leçon à retenir. Les intérêts composés sont puissants, mais le résultat dépend entièrement du maintien du taux dans la durée. Les prêts non remboursés, les périodes de faibles rendements et l'argent retiré en cours de route ont tous réduit le taux, et sur deux cents ans, une petite réduction du taux se transforme, par capitalisation, en un écart énorme sur le résultat.

Ce que les intérêts composés ne font pas

Les intérêts composés décrivent ce qui arrive à un montant à un taux donné. Ils ne garantissent pas ce taux. Le taux d'un compte d'épargne peut changer. Le rendement d'un placement varie d'une année à l'autre et peut être négatif, auquel cas les intérêts composés jouent contre le solde, et non en sa faveur.

Les intérêts composés s'appliquent aussi à des montants nominaux. Si les prix augmentent au même rythme que les intérêts, le chiffre affiché sur le compte augmente, mais ce qu'il permet d'acheter reste à peu près le même.

Pourquoi comprendre ce mécanisme est une habitude à construire

Les intérêts composés font partie de ces notions que la plupart des gens connaissent de nom mais que peu appliquent quand cela compte vraiment : lire un taux effectif, repérer comment un solde de dette augmente, ou remarquer la différence que font quelques points de pourcentage sur dix ans.

Astra Trainer est conçu pour faire retenir ce genre de notions. Des quiz suivent chaque sujet, et chaque cours se termine par un examen final de dix questions, tandis que les quêtes quotidiennes, les points et la série de jours consécutifs entretiennent des leçons de cinq minutes. Un Cercle te donne un petit groupe avec un objectif hebdomadaire commun et des sessions en direct, ce qui aide quand le sujet est de ceux dont on parle rarement ouvertement.

Ce qu'il faut retenir

Les intérêts composés sont des intérêts calculés sur le capital plus les intérêts déjà ajoutés, si bien que les intérêts de chaque période sont plus élevés que ceux de la précédente.

L'effet est faible au début et important sur de longues périodes. Le temps est le facteur le plus important, suivi du taux et de la fréquence de capitalisation.

La règle des 72 donne une estimation rapide du temps de doublement, et le taux effectif, APY ou AER, montre l'effet réel de la capitalisation au cours d'une année.

C'est pourquoi la réponse la plus utile à la question de savoir comment fonctionnent les intérêts composés est qu'ils fonctionnent de la même façon sur tout, et s'appliquent aussi fortement à un solde de carte de crédit qu'à un compte d'épargne.