Como Funcionam os Juros Compostos? A Matemática Simples

Como funcionam os juros compostos? Em uma frase: os juros são somados ao valor que você tem, e a próxima rodada de juros é calculada sobre esse valor maior. Os juros passam a render juros. A ideia é simples, a conta é simples, e o efeito ao longo de períodos longos é maior do que a maioria das pessoas espera, nos dois sentidos, porque o mesmo mecanismo que faz a poupança crescer também faz a dívida crescer.

Este artigo explica o mecanismo, a fórmula, a regra dos 72, por que a frequência de capitalização importa, e por que ela vale tanto para o que você deve quanto para o que você tem guardado.

Como funcionam os juros compostos?

Comece pelos juros simples, que é a ideia mais fácil. Se você depositar $1,000 a 5 por cento de juros simples, recebe $50 por ano, todo ano, calculados apenas sobre os $1,000 originais. Depois de dez anos, você tem $1,500.

Os juros compostos somam os juros de cada ano ao saldo antes de calcular os do ano seguinte. Ano um: 5 por cento de $1,000 são $50, então o saldo passa a ser $1,050. Ano dois: 5 por cento de $1,050 são $52.50, então o saldo passa a ser $1,102.50. A cada ano os juros ficam um pouco maiores, porque a base sobre a qual são calculados cresceu.

No início, a diferença é mínima, uns poucos dólares. Mas ela vai aumentando, porque a própria diferença passa a render juros.

A diferença ao longo do tempo

A tabela mostra $1,000 a 5 por cento ao ano, com capitalização anual, comparados ao mesmo valor a 5 por cento de juros simples.

Em trinta anos, o valor com juros compostos mais do que quadruplicou, enquanto os juros simples apenas somaram uma vez e meia o valor original. Quase metade do saldo final com juros compostos vem de juros ganhos sobre juros anteriores.

É por isso que o tempo importa mais do que quase qualquer outra coisa nos juros compostos. A taxa importa, e o valor inicial importa, mas é o número de períodos que transforma uma diferença modesta em uma diferença grande.

A fórmula, de forma simples

A fórmula padrão é:

Valor final = P × (1 + r / n) ^ (n × t)

• P é o valor inicial, o principal.
• r é a taxa de juros anual, em decimal, então 5 por cento é 0.05.
• n é quantas vezes por ano os juros são adicionados.
• t é o número de anos.

Para $1,000 a 5 por cento, com capitalização uma vez por ano durante dez anos: 1,000 × 1.05 elevado a 10, o que dá $1,628.89. A fórmula parece técnica, mas é apenas o cálculo ano a ano feito acima, escrito em uma única linha.

Por que a frequência de capitalização importa

Os juros podem ser somados anualmente, mensalmente, diariamente ou em outros intervalos. Quanto mais vezes eles são somados, mais cedo cada parte dos juros começa a render juros por conta própria.

Os mesmos $1,000 a 5 por cento, com capitalização mensal durante dez anos, chegam a cerca de $1,647, em vez dos $1,629 com capitalização anual. A diferença é pequena em taxas modestas e cresce com taxas mais altas e períodos mais longos.

É por isso que credores e bancos informam dois números diferentes. A taxa nominal, muitas vezes chamada de APR nos Estados Unidos, informa a taxa anual antes da capitalização. A taxa efetiva, chamada de APY nos Estados Unidos e de AER no Reino Unido, inclui o efeito da capitalização dentro do ano. Ao comparar produtos, é a taxa efetiva que mostra o que realmente acontece com o saldo.

Como isso é ensinado no Astra Trainer

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Os juros compostos estão por trás de boa parte desse conteúdo, porque os juros são o preço do crédito, e o crédito é como a maior parte do dinheiro é criada. Entender o mecanismo facilita acompanhar o restante do sistema. As aulas duram cerca de cinco minutos, e um guia te acompanha em qualquer parte estranha.

A regra dos 72

Uma forma rápida de estimar quanto tempo um valor leva para dobrar com juros compostos é dividir 72 pela taxa percentual anual.

A 6 por cento, 72 dividido por 6 dá 12, então um valor dobra em aproximadamente 12 anos. O número exato é cerca de 11.9. A 8 por cento, 72 dividido por 8 dá 9 anos, o que é quase exatamente certo. A regra funciona melhor para taxas entre cerca de 6 e 10 por cento, e fica menos precisa bem fora dessa faixa.

O atalho é antigo. O matemático italiano Luca Pacioli o descreveu em 1494, em sua Summa de arithmetica, o mesmo livro que apresentou a contabilidade de partidas dobradas. A regra também funciona ao contrário: a 3 por cento de inflação, os preços aproximadamente dobram em 24 anos, o que significa que o dinheiro guardado em espécie perde cerca de metade do seu poder de compra no mesmo período. O artigo sobre o que causa a inflação cobre esse lado da questão.

Os juros compostos também valem para as dívidas

Tudo isso vale com a mesma força para o dinheiro que você deve. Os juros sobre uma dívida não paga são somados ao saldo, e os juros do período seguinte são cobrados sobre o total maior.

Pegue um saldo de cartão de crédito de $2,000 a uma taxa de 2 por cento ao mês, cerca de 24 por cento ao ano, sem nenhum pagamento. Depois de doze meses, com capitalização mensal, o saldo fica em torno de $2,536. A taxa efetiva anual fica perto de 27 por cento, não 24, por causa da capitalização mensal.

É também por isso que os pagamentos mínimos em dívidas com juros altos podem demorar tanto para quitar o saldo. Se um pagamento supera por pouco os juros que estão sendo somados, muito pouco dele reduz o saldo em si, e os juros compostos continuam incidindo sobre quase o valor total.

O artigo sobre como os bancos criam dinheiro explica por que o crédito com juros é tão central para todo o sistema.

O experimento de duzentos anos de Franklin

O teste mais famoso dos juros compostos no mundo real foi criado por Benjamin Franklin. Em um codicilo ao seu testamento, pouco antes de morrer em 1790, ele deixou £1,000 para Boston e outras £1,000 para Filadélfia. O dinheiro deveria ser emprestado a jovens artesãos, com juros, por cem anos; depois disso, parte poderia ser gasta em obras públicas, e o restante continuaria rendendo juros compostos por mais um século.

Franklin calculou que, depois de duzentos anos, cada fundo poderia chegar a mais de £4 milhões. Não foi o que aconteceu. Quando os fundos foram encerrados, por volta de 1990, o de Boston valia cerca de $4.5 milhões e o da Filadélfia cerca de $2 milhões, bem abaixo da projeção dele.

A diferença é a lição. Os juros compostos são poderosos, mas o resultado depende inteiramente de a taxa se manter. Empréstimos que não foram pagos, períodos de retornos baixos e retiradas de dinheiro pelo caminho reduziram a taxa, e ao longo de duzentos anos uma pequena redução na taxa se multiplica em uma diferença enorme no resultado.

O que os juros compostos não fazem

Os juros compostos descrevem o que acontece com um valor a uma determinada taxa. Eles não garantem essa taxa. A taxa de uma conta poupança pode mudar. O retorno de um investimento varia de ano para ano e pode ser negativo, e nesse caso os juros compostos jogam contra o saldo, não a favor dele.

Os juros compostos também incidem sobre valores nominais. Se os preços estão subindo na mesma taxa que os juros, o número na conta cresce, enquanto o que ele consegue comprar permanece praticamente o mesmo.

Por que entender o mecanismo é um hábito

Juros compostos são uma daquelas ideias que quase todo mundo já ouviu falar, mas poucos aplicam quando realmente importa: ao ler uma taxa efetiva, ao perceber como o saldo de uma dívida está crescendo, ou ao notar a diferença que alguns pontos percentuais fazem ao longo de uma década.

O Astra Trainer é feito para fixar ideias como essa. Cada tema vem seguido de um questionário, e cada curso termina com uma prova final de dez perguntas, enquanto missões diárias, pontos e uma sequência mantêm as aulas de cinco minutos em andamento. Um Círculo te dá um pequeno grupo com uma meta semanal compartilhada e sessões ao vivo, o que ajuda quando o assunto é um daqueles que as pessoas raramente discutem abertamente.

O que levar disso

Juros compostos são os juros calculados sobre o principal mais os juros já somados, então os juros de cada período são maiores que os do período anterior.

O efeito é pequeno no início e grande ao longo de períodos extensos. O tempo é o maior fator, seguido pela taxa e pela frequência da capitalização.

A regra dos 72 dá uma estimativa rápida do tempo de duplicação, e a taxa efetiva, APY ou AER, mostra o efeito real da capitalização dentro de um ano.

É por isso que a resposta mais útil para como funcionam os juros compostos é que eles funcionam da mesma forma em tudo, e valem tanto para o saldo de um cartão de crédito quanto para uma conta poupança.